Номер 21, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 95.

Условие.

12.21. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$ является уравнением сферы, укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, и найти её параметры, необходимо привести его к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Исходное уравнение:$x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 14y + 2z + 70 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:$(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + (z^2 + 2z) + 70 = 0$

Далее, для каждой группы применим метод выделения полного квадрата, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

1. Для переменной $x$:
$x^2 - 10x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x - 5)^2 - 25$

2. Для переменной $y$:
$y^2 + 14y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2) - 7^2 = (y + 7)^2 - 49$

3. Для переменной $z$:
$z^2 + 2z = (z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (z + 1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:$((x - 5)^2 - 25) + ((y + 7)^2 - 49) + ((z + 1)^2 - 1) + 70 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые (константы):$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 25 - 49 - 1 + 70 = 0$$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 75 + 70 = 0$$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 - 5 = 0$

Перенесём свободный член в правую часть уравнения, чтобы получить канонический вид:$(x - 5)^2 + (y + 7)^2 + (z + 1)^2 = 5$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения ($R^2 = 5$) является положительным числом, это доказывает, что исходное уравнение действительно является уравнением сферы.

Из полученного канонического уравнения находим координаты центра $(x_0; y_0; z_0)$ и радиус $R$:- Координаты центра сферы: $(5; -7; -1)$.- Квадрат радиуса $R^2 = 5$, следовательно, радиус $R = \sqrt{5}$.

Ответ: Уравнение является уравнением сферы с центром в точке $(5; -7; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$.