Номер 15, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 95.

Условие.

12.15. Составьте уравнение сферы с центром в точке $P(3; -1; 16)$, которая проходит через точку $M(-2; -4; 13)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Стандартное уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что центр сферы находится в точке $P(3; -1; 16)$. Подставим координаты центра в уравнение:
$(x - 3)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 16)^2 = R^2$
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = R^2$

Поскольку сфера проходит через точку $M(-2; -4; 13)$, радиус $R$ сферы будет равен расстоянию между центром $P$ и точкой $M$. Для уравнения нам нужен квадрат радиуса $R^2$. Найдем его, вычислив квадрат расстояния между точками $P$ и $M$:
$R^2 = PM^2 = (-2 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2 + (13 - 16)^2$
$R^2 = (-5)^2 + (-4 + 1)^2 + (-3)^2$
$R^2 = 25 + (-3)^2 + (-3)^2$
$R^2 = 25 + 9 + 9 = 43$

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 43$ в уравнение сферы, чтобы получить окончательный вид:
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = 43$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 16)^2 = 43$