Номер 16, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 95.

Условие.

12.16. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $CD$, если $C(-3; 6; 5)$, $D(1; -4; -5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $O(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Для того чтобы составить уравнение сферы, необходимо определить координаты ее центра и квадрат ее радиуса.

1. Нахождение центра сферы.

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром сферы, ее центр $O$ находится в середине этого отрезка. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $C(-3; 6; 5)$ и $D(1; -4; -5)$ имеем:

$x_0 = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$z_0 = \frac{z_C + z_D}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; 1; 0)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен половине длины диаметра $CD$. Сначала найдем квадрат длины диаметра $CD$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d^2 = CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2$

$CD^2 = (1 - (-3))^2 + (-4 - 6)^2 + (-5 - 5)^2 = 4^2 + (-10)^2 + (-10)^2 = 16 + 100 + 100 = 216$

Радиус равен половине диаметра ($R = d/2$), следовательно, квадрат радиуса равен $R^2 = d^2 / 4$.

$R^2 = \frac{216}{4} = 54$

Альтернативно, можно было найти радиус как расстояние от центра $O(-1; 1; 0)$ до одной из точек на сфере, например, до точки $C(-3; 6; 5)$:

$R^2 = (x_C - x_0)^2 + (y_C - y_0)^2 + (z_C - z_0)^2 = (-3 - (-1))^2 + (6 - 1)^2 + (5 - 0)^2 = (-2)^2 + 5^2 + 5^2 = 4 + 25 + 25 = 54$

3. Составление уравнения сферы.

Подставим найденные координаты центра $O(-1; 1; 0)$ и квадрат радиуса $R^2 = 54$ в общее уравнение сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 54$

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54$.