Номер 12, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 94.

Условие.

12.12. Как расположена точка по отношению к сфере $ (x+2)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 100 $:

1) A $ (-6; 9; -4\sqrt{3}) $;

2) B $ (5; 8; -5) $;

3) C $ (-10; -4; 1) $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение сферы имеет вид $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра, а $R$ - радиус. В данном случае уравнение сферы $(x+2)^2 + (y-3)^2 + z^2 = 100$. Это означает, что центр сферы находится в точке $O(-2; 3; 0)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 100$. Чтобы определить положение точки относительно сферы, нужно подставить ее координаты в левую часть уравнения и сравнить полученное значение с квадратом радиуса ($100$).

Обозначим левую часть уравнения как $L = (x+2)^2 + (y-3)^2 + z^2$.

• Если $L < 100$, точка находится внутри сферы.
• Если $L = 100$, точка лежит на сфере.
• Если $L > 100$, точка находится вне сферы.

1) A $(-6; 9; -4\sqrt{3})$

Подставим координаты точки A в левую часть уравнения сферы:

$L = (-6+2)^2 + (9-3)^2 + (-4\sqrt{3})^2 = (-4)^2 + 6^2 + (16 \cdot 3) = 16 + 36 + 48 = 100$.

Так как $L = 100$, полученное значение равно квадрату радиуса. Следовательно, точка A лежит на сфере.

Ответ: точка лежит на сфере.

2) B $(5; 8; -5)$

Подставим координаты точки B в левую часть уравнения сферы:

$L = (5+2)^2 + (8-3)^2 + (-5)^2 = 7^2 + 5^2 + 25 = 49 + 25 + 25 = 99$.

Так как $L = 99 < 100$, полученное значение меньше квадрата радиуса. Следовательно, точка B находится внутри сферы.

Ответ: точка находится внутри сферы.

3) C $(-10; -4; 1)$

Подставим координаты точки C в левую часть уравнения сферы:

$L = (-10+2)^2 + (-4-3)^2 + 1^2 = (-8)^2 + (-7)^2 + 1 = 64 + 49 + 1 = 114$.

Так как $L = 114 > 100$, полученное значение больше квадрата радиуса. Следовательно, точка C находится вне сферы.

Ответ: точка находится вне сферы.