Номер 6, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 94.

Условие.

12.6. На сфере с центром $O$ взяли точки $A$ и $B$ такие, что $AB = 18$ см. Найдите радиус сферы, если расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы с центром в точке $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на сфере, следовательно, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой сферы, то есть $OA = OB = R$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как $OA = OB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, $OH \perp AB$ и по условию $OH = 12$ см.

В равнобедренном треугольнике $OAB$ высота $OH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AB$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (с прямым углом $H$). Катеты этого треугольника — $OH$ и $AH$, а гипотенуза — $OA$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

Подставим известные значения. Так как $OA = R$, получаем:

$R^2 = 12^2 + 9^2$

$R^2 = 144 + 81$

$R^2 = 225$

$R = \sqrt{225}$

$R = 15$ см.

Ответ: 15 см.