Номер 6, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 94.

Условие.

6. Какое уравнение является уравнением сферы с центром в точке A ($a$; $b$; $c$) и радиусом $r$?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера представляет собой множество всех точек в трехмерном пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Это расстояние называется радиусом сферы.

Пусть центр сферы — точка $A$ с координатами $(a; b; c)$, а радиус сферы равен $r$.

Рассмотрим любую точку $M$ с координатами $(x; y; z)$, которая лежит на поверхности этой сферы.

Согласно определению сферы, расстояние между центром $A$ и любой точкой $M$ на сфере должно быть равно радиусу $r$. Формула для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $M(x_2; y_2; z_2)$ в декартовой системе координат выглядит следующим образом:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Применив эту формулу для наших точек $A(a; b; c)$ и $M(x; y; z)$, мы получим расстояние $AM$:

$AM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}$

Поскольку расстояние $AM$ равно радиусу $r$, мы можем записать равенство:

$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} = r$

Для того чтобы получить каноническое уравнение сферы, возведем в квадрат обе части этого равенства:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

Это уравнение и является уравнением сферы с центром в точке $A(a; b; c)$ и радиусом $r$. Любая точка $(x; y; z)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, принадлежит данной сфере.

Ответ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$