Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 94.

Условие.

12.3. Точки $C$ и $D$ лежат на сфере с центром $O$, диаметр которой равен 8 см. Найдите отрезок $CD$, если треугольник $COD$ является прямоугольным.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, точки C и D лежат на сфере с центром в точке O. Это означает, что отрезки OC и OD, соединяющие центр сферы с точками на ней, являются радиусами этой сферы.

Диаметр сферы равен 8 см. Радиус сферы (R) равен половине диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Следовательно, длины отрезков OC и OD равны радиусу сферы:
$OC = R = 4$ см,
$OD = R = 4$ см.

Рассмотрим треугольник COD. Его стороны – это отрезки OC, OD и CD. Мы знаем, что $OC = OD = 4$ см. Так как две стороны треугольника равны, треугольник COD является равнобедренным.

Также по условию задачи треугольник COD является прямоугольным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике равные стороны являются катетами, а прямой угол находится между ними. Таким образом, OC и OD – это катеты, а CD – гипотенуза. Прямой угол – это угол $\angle COD = 90^\circ$.

Для нахождения длины гипотенузы CD воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
$CD^2 = OC^2 + OD^2$

Подставим известные значения длин катетов:
$CD^2 = 4^2 + 4^2$
$CD^2 = 16 + 16$
$CD^2 = 32$

Теперь найдем длину CD, извлекая квадратный корень:
$CD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.