Номер 9, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 94.

Условие.

12.9. Радиус шара равен $4 \frac{2}{7}$ см. Принадлежит ли шару точка B, если она удалена от центра шара:

1) на 5 см;

2) на $\sqrt{15}$ см?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Точка принадлежит шару, если расстояние от этой точки до центра шара меньше или равно радиусу шара. Обозначим радиус шара как $R$, а расстояние от точки $B$ до центра шара как $d$. Точка $B$ принадлежит шару, если выполняется неравенство $d \le R$.

По условию задачи, радиус шара $R = 4\frac{2}{7}$ см. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь: $R = 4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}$ см.

1)

В этом случае расстояние от точки $B$ до центра шара $d = 5$ см. Сравним $d$ и $R$. $d = 5$ и $R = \frac{30}{7}$. Чтобы сравнить эти числа, представим 5 в виде дроби со знаменателем 7: $5 = \frac{5 \cdot 7}{7} = \frac{35}{7}$. Сравниваем дроби $\frac{35}{7}$ и $\frac{30}{7}$. Поскольку $35 > 30$, то $\frac{35}{7} > \frac{30}{7}$, а значит $5 > \frac{30}{7}$. Получаем, что $d > R$. Условие принадлежности точки шару не выполняется.

Ответ: не принадлежит.

2)

В этом случае расстояние от точки $B$ до центра шара $d = \sqrt{15}$ см. Сравним $d = \sqrt{15}$ и $R = \frac{30}{7}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты, чтобы определить, какое из них больше. $d^2 = (\sqrt{15})^2 = 15$. $R^2 = \left(\frac{30}{7}\right)^2 = \frac{900}{49}$. Теперь сравним числа $15$ и $\frac{900}{49}$. $15 = \frac{15}{1} = \frac{15 \cdot 49}{49} = \frac{735}{49}$. Сравниваем дроби $\frac{735}{49}$ и $\frac{900}{49}$. Поскольку $735 < 900$, то $\frac{735}{49} < \frac{900}{49}$, а значит $15 < \left(\frac{30}{7}\right)^2$. Из того, что $d^2 < R^2$, следует, что $d < R$. Условие принадлежности точки шару выполняется.

Ответ: принадлежит.