Номер 5, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 94.

Условие.

12.5. Докажите, что центр сферы является её центром симметрии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

12.5. Чтобы доказать, что центр сферы является её центром симметрии, необходимо показать, что для любой точки, принадлежащей сфере, симметричная ей точка относительно центра также принадлежит этой сфере.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению, сфера — это множество всех точек пространства, расстояние от которых до центра $O$ равно радиусу $R$.

Возьмём произвольную точку $M$, принадлежащую данной сфере. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $M$ равно радиусу: $|OM| = R$.

Рассмотрим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра сферы $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это значит, что точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, и расстояния от центра $O$ до точек $M$ и $M'$ равны: $|OM'| = |OM|$.

Так как $|OM| = R$, то из равенства $|OM'| = |OM|$ следует, что $|OM'| = R$.

Поскольку расстояние от точки $M'$ до центра сферы $O$ также равно радиусу $R$, то, согласно определению сферы, точка $M'$ принадлежит этой сфере.

Мы взяли произвольную точку $M$ на сфере и показали, что симметричная ей относительно центра $O$ точка $M'$ также лежит на этой сфере. Следовательно, центр сферы $O$ является её центром симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.