Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 94.

Условие.

12.4. Отрезок $AB$ – диаметр сферы, $M$ – произвольная точка сферы. Докажите, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Поскольку отрезок $AB$ является диаметром сферы, то его середина совпадает с центром $O$, а длины отрезков $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$. Точка $M$ — произвольная точка на сфере, следовательно, расстояние от центра до этой точки также равно радиусу: $OM = R$.

Точки $A$, $B$ и $M$ образуют треугольник. Эти три точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим сечение сферы этой плоскостью. Сечением сферы плоскостью всегда является окружность.

Так как плоскость треугольника $AMB$ проходит через точки $A$ и $B$, она содержит диаметр сферы $AB$. Плоскость, проходящая через диаметр сферы, проходит и через ее центр $O$. Сечение сферы такой плоскостью называется большой окружностью. Радиус этой большой окружности равен радиусу самой сферы, а отрезок $AB$ является ее диаметром.

Таким образом, точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной окружности, для которой $AB$ — диаметр.

В этой окружности угол $\angle AMB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым.

Следовательно, $\angle AMB = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $\angle AMB = 90^\circ$.