Номер 10, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 94.

Условие.

12.10. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 9;$

2) $x^2 + (y+5)^2 + (z-6)^2 = 25;$

3) $(x+3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 11;$

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общий вид уравнения сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ следующий:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для определения координат центра и радиуса для каждого случая необходимо сравнить данное уравнение с общим видом.

1) Дано уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$.

Сравнивая его с общим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, получаем:

$x - x_0 = x - 1 \implies x_0 = 1$

$y - y_0 = y - 2 \implies y_0 = 2$

$z - z_0 = z + 4 \implies z_0 = -4$

Следовательно, координаты центра сферы: $C(1; 2; -4)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 9$, откуда радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: центр $C(1; 2; -4)$, радиус $R = 3$.

2) Дано уравнение: $x^2 + (y + 5)^2 + (z - 6)^2 = 25$.

Представим его в общем виде: $(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 + (z - 6)^2 = 25$.

Отсюда находим координаты центра:

$x_0 = 0$

$y_0 = -5$

$z_0 = 6$

Следовательно, координаты центра сферы: $C(0; -5; 6)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 25$, откуда радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: центр $C(0; -5; 6)$, радиус $R = 5$.

3) Дано уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 11$.

Представим его в общем виде: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 + (z - 0)^2 = 11$.

Отсюда находим координаты центра:

$x_0 = -3$

$y_0 = 4$

$z_0 = 0$

Следовательно, координаты центра сферы: $C(-3; 4; 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 11$, откуда радиус $R = \sqrt{11}$.

Ответ: центр $C(-3; 4; 0)$, радиус $R = \sqrt{11}$.

4) Дано уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 5$.

Представим его в общем виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 5$.

Отсюда находим координаты центра:

$x_0 = 0$

$y_0 = 0$

$z_0 = 0$

Следовательно, координаты центра сферы: $C(0; 0; 0)$ (начало координат).

Квадрат радиуса $R^2 = 5$, откуда радиус $R = \sqrt{5}$.

Ответ: центр $C(0; 0; 0)$, радиус $R = \sqrt{5}$.