Номер 13, страница 94 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 94.

Условие.

12.13. Составьте уравнение сферы, если известны координаты её центра $K$ и радиус $r$:

1) $K(2; 5; -12)$, $r = 2$;

2) $K(-4; 0; 7)$, $r = 1$;

3) $K(0; 5; 11)$, $r = 2\sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $K(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$

1) Даны координаты центра сферы $K(2; 5; -12)$ и радиус $r=2$.
Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы. В данном случае $x_0 = 2$, $y_0 = 5$, $z_0 = -12$.
Квадрат радиуса равен $r^2 = 2^2 = 4$.
Получаем уравнение:
$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z - (-12))^2 = 4$
Упростив выражение в последней скобке, получаем:
$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 12)^2 = 4$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 12)^2 = 4$.

2) Даны координаты центра сферы $K(-4; 0; 7)$ и радиус $r=1$.
Подставим эти значения в общую формулу. Здесь $x_0 = -4$, $y_0 = 0$, $z_0 = 7$.
Квадрат радиуса равен $r^2 = 1^2 = 1$.
Получаем уравнение:
$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 + (z - 7)^2 = 1$
Упростив выражения, получаем:
$(x + 4)^2 + y^2 + (z - 7)^2 = 1$
Ответ: $(x + 4)^2 + y^2 + (z - 7)^2 = 1$.

3) Даны координаты центра сферы $K(0; 5; 11)$ и радиус $r=2\sqrt{5}$.
Подставим эти значения в общую формулу. Здесь $x_0 = 0$, $y_0 = 5$, $z_0 = 11$.
Найдем квадрат радиуса: $r^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Получаем уравнение:
$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = 20$
Упростив выражение, получаем:
$x^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = 20$
Ответ: $x^2 + (y - 5)^2 + (z - 11)^2 = 20$.