Номер 20, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 95.

Условие.

12.20. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $N(-1; 2; -2)$, центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус сферы равен $3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из условия задачи нам известно:

1. Центр сферы принадлежит оси аппликат (оси Oz). Это означает, что его координаты по осям Ox и Oy равны нулю. Таким образом, центр сферы — это точка $C(0; 0; z_0)$.

2. Радиус сферы $R = 3$.

Подставив эти данные в общее уравнение сферы, получим:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - z_0)^2 = 3^2$

$x^2 + y^2 + (z - z_0)^2 = 9$

3. Сфера проходит через точку $N(-1; 2; -2)$. Это значит, что координаты точки N удовлетворяют уравнению сферы. Подставим их в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $z_0$:

$(-1)^2 + 2^2 + (-2 - z_0)^2 = 9$

$1 + 4 + (-2 - z_0)^2 = 9$

$5 + (-2 - z_0)^2 = 9$

$(-2 - z_0)^2 = 4$

Это уравнение имеет два решения:

- Случай 1: $-2 - z_0 = 2 \implies -z_0 = 4 \implies z_0 = -4$.

- Случай 2: $-2 - z_0 = -2 \implies -z_0 = 0 \implies z_0 = 0$.

Таким образом, существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи, с центрами в точках $C_1(0; 0; -4)$ и $C_2(0; 0; 0)$.

Составим уравнения для каждой из них.

1. Для центра $C_1(0; 0; -4)$ и радиуса $R=3$ уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + (z - (-4))^2 = 9$

$x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9$

2. Для центра $C_2(0; 0; 0)$ и радиуса $R=3$ уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + (z - 0)^2 = 9$

$x^2 + y^2 + z^2 = 9$

Ответ: $x^2 + y^2 + (z + 4)^2 = 9$ или $x^2 + y^2 + z^2 = 9$.