Номер 19, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 95.

Условие.

12.19. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M (-6; 2; -3)$, центр сферы принадлежит оси абсцисс, а радиус сферы равен 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы принадлежит оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что координаты центра по осям Oy и Oz равны нулю. Обозначим координаты центра как $C(x_0, 0, 0)$.

Также по условию радиус сферы $R = 7$.

Подставим известные данные в общее уравнение сферы:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 7^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 + z^2 = 49$

Сфера проходит через точку $M(-6; 2; -3)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты точки $M$ в полученное уравнение, подставив $x = -6$, $y = 2$, $z = -3$:

$(-6 - x_0)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 49$

Решим это уравнение относительно $x_0$:

$( -(6 + x_0) )^2 + 4 + 9 = 49$

$(6 + x_0)^2 + 13 = 49$

$(6 + x_0)^2 = 49 - 13$

$(6 + x_0)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $6 + x_0 = 6 \implies x_0 = 0$. Центр сферы $C_1(0; 0; 0)$.

2) $6 + x_0 = -6 \implies x_0 = -12$. Центр сферы $C_2(-12; 0; 0)$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две сферы. Составим их уравнения:

1) Для центра $C_1(0; 0; 0)$ и радиуса $R=7$ уравнение сферы:

$(x - 0)^2 + y^2 + z^2 = 49$, что равносильно $x^2 + y^2 + z^2 = 49$.

2) Для центра $C_2(-12; 0; 0)$ и радиуса $R=7$ уравнение сферы:

$(x - (-12))^2 + y^2 + z^2 = 49$, что равносильно $(x + 12)^2 + y^2 + z^2 = 49$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ или $(x + 12)^2 + y^2 + z^2 = 49$.