Номер 24, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 95.

Условие.

12.24. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку C (4; $-2\sqrt{10}$; -2) и начало координат, центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, а радиус сферы равен $3\sqrt{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $M(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что радиус сферы $R = 3\sqrt{10}$. Тогда квадрат радиуса $R^2 = (3\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.

Также по условию центр сферы принадлежит координатной плоскости $xz$, следовательно, его координата $y_0 = 0$. Обозначим центр сферы как $M(x_0; 0; z_0)$.

С учетом этих данных уравнение сферы принимает вид: $(x - x_0)^2 + y^2 + (z - z_0)^2 = 90$.

Сфера проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы, чтобы получить систему уравнений для нахождения $x_0$ и $z_0$.

Для точки $O(0; 0; 0)$:

$(0 - x_0)^2 + 0^2 + (0 - z_0)^2 = 90 \implies x_0^2 + z_0^2 = 90$

Для точки $C(4; -2\sqrt{10}; -2)$:

$(4 - x_0)^2 + (-2\sqrt{10})^2 + (-2 - z_0)^2 = 90$

$(4 - x_0)^2 + 40 + (2 + z_0)^2 = 90$

$(4 - x_0)^2 + (2 + z_0)^2 = 50$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x_0^2 + z_0^2 = 90 & (1) \\ (4 - x_0)^2 + (2 + z_0)^2 = 50 & (2) \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении: $16 - 8x_0 + x_0^2 + 4 + 4z_0 + z_0^2 = 50$.

Сгруппируем члены: $(x_0^2 + z_0^2) - 8x_0 + 4z_0 + 20 = 50$.

Подставим уравнение (1) в полученное выражение: $90 - 8x_0 + 4z_0 + 20 = 50$.

$110 - 8x_0 + 4z_0 = 50$

$-8x_0 + 4z_0 = -60$

Разделим обе части на -4: $2x_0 - z_0 = 15$, откуда получаем $z_0 = 2x_0 - 15$.

Теперь подставим это выражение для $z_0$ в уравнение (1):

$x_0^2 + (2x_0 - 15)^2 = 90$

$x_0^2 + 4x_0^2 - 60x_0 + 225 = 90$

$5x_0^2 - 60x_0 + 135 = 0$

Разделим уравнение на 5: $x_0^2 - 12x_0 + 27 = 0$.

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_{0,1} = 3$ и $x_{0,2} = 9$.

Для каждого значения $x_0$ найдем соответствующее значение $z_0$:

1. Если $x_0 = 3$, то $z_0 = 2(3) - 15 = 6 - 15 = -9$. Центр сферы $M_1(3; 0; -9)$.

2. Если $x_0 = 9$, то $z_0 = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$. Центр сферы $M_2(9; 0; 3)$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы. Запишем их уравнения.

1. Для центра $M_1(3; 0; -9)$: $(x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$.

2. Для центра $M_2(9; 0; 3)$: $(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$.

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 + (z + 9)^2 = 90$ или $(x - 9)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 90$.