Номер 28, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 95.

Условие.

12.28. Найдите длину окружности, описанной около равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 8 см и высотой 7 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения длины окружности, описанной около равнобокой трапеции, необходимо найти ее радиус $R$. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции. Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием, боковой стороной и диагональю трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 8$ см и $BC = 6$ см, и высотой $h = 7$ см.

Нахождение боковой стороны и диагонали трапеции

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:

$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$

$AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем отрезок $HD$, который равен $AD - AH = 8 - 1 = 7$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. По теореме Пифагора найдем диагональ $BD$:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$

$BD = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см.

Вычисление радиуса описанной окружности

Рассмотрим треугольник $ABD$ со сторонами $AD=8$ см, $AB=5\sqrt{2}$ см и $BD=7\sqrt{2}$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около этого треугольника (и, следовательно, около всей трапеции), можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $ABD$ равна половине произведения его основания $AD$ на высоту $BH$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус:

$R = \frac{AD \cdot AB \cdot BD}{4 \cdot S_{ABD}} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}}{4 \cdot 28} = \frac{8 \cdot 35 \cdot (\sqrt{2})^2}{112} = \frac{8 \cdot 35 \cdot 2}{112} = \frac{560}{112} = 5$ см.

Вычисление длины окружности

Зная радиус $R = 5$ см, находим длину окружности по формуле:

$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

Ответ: $10\pi$ см.