Номер 5, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 99.

Условие.

5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания плоскости и сферы?

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим сферу с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $A$. Точка $A$ называется точкой касания, а плоскость $\alpha$ — касательной плоскостью. Радиус, проведённый в точку касания, — это отрезок $OA$.

Свойство, о котором идет речь, является фундаментальной теоремой о касательной плоскости к сфере.

Свойство: Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Доказательство (методом от противного):

1. Предположим обратное: радиус $OA$ не перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$. В этом случае отрезок $OA$ является наклонной, проведённой из точки $O$ к плоскости $\alpha$.

2. Если $OA$ — наклонная, то расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$ и не совпадает с точкой $A$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (угол $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике $OA$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. По свойству прямоугольного треугольника, катет всегда короче гипотенузы, следовательно, $OH < OA$.

4. Так как $OA$ — это радиус сферы ($OA = R$), то мы получаем, что расстояние от центра сферы до плоскости ($OH$) меньше радиуса: $OH < R$.

5. Известно, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше ее радиуса, то сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это означает, что у сферы и плоскости $\alpha$ бесконечно много общих точек.

6. Однако это противоречит исходному условию, согласно которому плоскость $\alpha$ является касательной и имеет со сферой только одну общую точку $A$.

7. Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, радиус $OA$ должен быть перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$. То есть $OA \perp \alpha$.

Ответ: Радиус, проведённый в точку касания плоскости и сферы, перпендикулярен этой плоскости.