Номер 27, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 95.

Условие.

12.27. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания окружностей до их общей внешней касательной.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $R$ и $r$ — их радиусы. По условию, $R=9$ см и $r=3$ см. Окружности касаются внешним образом в точке $K$. Точка $K$ лежит на линии центров $O_1O_2$. Расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 9 + 3 = 12$ см.

Проведем общую внешнюю касательную к этим окружностям. Пусть $A$ — точка касания с первой окружностью (с центром $O_1$), а $B$ — точка касания со второй окружностью (с центром $O_2$). Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Отсюда следует, что $O_1A \parallel O_2B$.

Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R = 9$ и $O_2B = r = 3$.

Нам необходимо найти расстояние от точки $K$ до касательной $AB$. Обозначим это расстояние как $KH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AB$. Так как $KH \perp AB$, то $KH \parallel O_1A \parallel O_2B$.

Продолжим боковые стороны трапеции $O_1O_2$ и $AB$ до их пересечения в точке $P$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PAO_1$ и $\triangle PBO_2$. Они являются прямоугольными и подобными по двум углам ($\angle P$ — общий, $\angle PAO_1 = \angle PBO_2 = 90^\circ$). Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $$ \frac{PO_2}{PO_1} = \frac{O_2B}{O_1A} $$ Пусть $PO_2 = x$. Тогда $PO_1 = PO_2 + O_1O_2 = x + 12$. Подставим известные значения: $$ \frac{x}{x+12} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ $$ 3x = x + 12 $$ $$ 2x = 12 $$ $$ x = 6 \text{ см} $$ Итак, $PO_2 = 6$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PKH$. Так как $KH \parallel O_2B$, то $\triangle PKH \sim \triangle PBO_2$. Из подобия следует: $$ \frac{KH}{O_2B} = \frac{PK}{PO_2} $$ Точка $K$ лежит на отрезке $O_1O_2$, и $O_2K = r = 3$ см. Длина отрезка $PK$ равна: $$ PK = PO_2 + O_2K = 6 + 3 = 9 \text{ см} $$ Подставим известные значения в соотношение подобия: $$ \frac{KH}{3} = \frac{9}{6} $$ $$ KH = 3 \cdot \frac{9}{6} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см} $$

Ответ: 4,5 см.