Номер 22, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 95.

Условие.

12.22. Найдите координаты центра и радиус сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 16y + 6z = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения координат центра и радиуса сферы необходимо привести её уравнение к каноническому виду: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Дано уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 16y + 6z = 0$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные:
$x^2 + (y^2 - 16y) + (z^2 + 6z) = 0$.

Чтобы получить канонический вид, применим метод выделения полного квадрата для выражений в скобках. Формула полного квадрата: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для переменной $y$:
$y^2 - 16y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 8$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить и отнять $8^2 = 64$.
$(y^2 - 16y + 64) - 64 = (y - 8)^2 - 64$.

Для переменной $z$:
$z^2 + 6z = z^2 + 2 \cdot z \cdot 3$. Чтобы дополнить до полного квадрата, нужно прибавить и отнять $3^2 = 9$.
$(z^2 + 6z + 9) - 9 = (z + 3)^2 - 9$.

Для переменной $x$ уже имеется полный квадрат: $x^2 = (x - 0)^2$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:
$(x - 0)^2 + ((y - 8)^2 - 64) + ((z + 3)^2 - 9) = 0$.

Перенесем числовые слагаемые (константы) в правую часть уравнения:
$(x - 0)^2 + (y - 8)^2 + (z + 3)^2 = 64 + 9$
$(x - 0)^2 + (y - 8)^2 + (z + 3)^2 = 73$.

Сравнивая полученное уравнение с канонической формой $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:
Центр сферы C имеет координаты $(x_0, y_0, z_0) = (0, 8, -3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 73$, следовательно, радиус $R = \sqrt{73}$.

Ответ: Координаты центра сферы: $(0; 8; -3)$, радиус сферы: $\sqrt{73}$.