Номер 26, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 95.

Условие.

12.26. Даны точки A (2; 1; -2) и B (6; 5; 2). Составьте уравнение геометрического места точек пространства, расстояние от которых до точки A в 3 раза меньше расстояния до точки B.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $M(x; y; z)$ – произвольная точка искомого геометрического места точек. По условию задачи, расстояние от точки $M$ до точки $A$ в 3 раза меньше расстояния до точки $B$. Это можно записать в виде соотношения $MB = 3 \cdot MA$.

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Найдем квадраты расстояний от точки $M(x; y; z)$ до заданных точек $A(2; 1; -2)$ и $B(6; 5; 2)$:

$MA^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-2))^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2$

$MB^2 = (x - 6)^2 + (y - 5)^2 + (z - 2)^2$

Возведем обе части равенства $MB = 3MA$ в квадрат, чтобы избавиться от корней: $MB^2 = 9MA^2$.Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение:

$(x - 6)^2 + (y - 5)^2 + (z - 2)^2 = 9 \cdot \left( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 \right)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 10y + 25) + (z^2 - 4z + 4) = x^2 + y^2 + z^2 - 12x - 10y - 4z + 65$

Правая часть:

$9 \cdot \left( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 4z + 4) \right)$

$= 9 \cdot (x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z + 9)$

$= 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 36x - 18y + 36z + 81$

Приравняем левую и правую части:

$x^2 + y^2 + z^2 - 12x - 10y - 4z + 65 = 9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 36x - 18y + 36z + 81$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$0 = (9x^2 - x^2) + (9y^2 - y^2) + (9z^2 - z^2) + (-36x + 12x) + (-18y + 10y) + (36z + 4z) + (81 - 65)$

$0 = 8x^2 + 8y^2 + 8z^2 - 24x - 8y + 40z + 16$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на 8:

$x^2 + y^2 + z^2 - 3x - y + 5z + 2 = 0$

Полученное уравнение является уравнением сферы. Это и есть уравнение искомого геометрического места точек.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 - 3x - y + 5z + 2 = 0$.