Номер 1, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 99.

Условие.

1. Опишите все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве зависит от соотношения между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости. Существует три возможных случая:

1. Сфера и плоскость не имеют общих точек

Этот случай имеет место, когда расстояние от центра сферы до плоскости превышает радиус сферы. Математически это выражается условием $d > R$. В этом случае у сферы и плоскости нет ни одной общей точки, и все точки сферы лежат по одну сторону от плоскости.

Ответ: Сфера и плоскость не имеют общих точек.

2. Сфера и плоскость касаются

Этот случай возникает, когда расстояние от центра сферы до плоскости в точности равно радиусу сферы. Математически это соответствует условию $d = R$. Сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку, которая называется точкой касания. Плоскость в этом случае называется касательной плоскостью к сфере. Важным свойством является то, что радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Ответ: Сфера и плоскость имеют одну общую точку (касаются).

3. Сфера и плоскость пересекаются

Этот случай происходит, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Математически это описывается условием $d < R$. В этом случае пересечением сферы и плоскости является окружность. Центр этой окружности совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость. Радиус $r$ этой окружности можно вычислить по теореме Пифагора: $r^2 + d^2 = R^2$, откуда $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Особым подслучаем является пересечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр ($d=0$). В этом случае в сечении образуется окружность с радиусом, равным радиусу сферы ($r=R$). Такая окружность называется большой окружностью сферы.

Ответ: Сфера и плоскость пересекаются по окружности.