Номер 4, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 99.

Условие.

4. Какую плоскость называют касательной плоскостью к сфере?

Решение 1.

Решение 3.

Плоскость, которая имеет со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Эта общая точка называется точкой касания.

Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Другими словами, если плоскость $\alpha$ касается сферы с центром в точке $O$ в точке $A$, то радиус $OA$ будет перпендикулярен плоскости $\alpha$ (записывается как $OA \perp \alpha$). Это объясняется тем, что расстояние от центра сферы до касательной плоскости должно быть равно радиусу. Если бы радиус $OA$ был наклонной к плоскости, то расстояние от центра $O$ до плоскости (длина перпендикуляра) было бы меньше радиуса, и тогда плоскость пересекала бы сферу по окружности, а не касалась бы её в одной точке.

Также верна и обратная теорема, которая является признаком касательной плоскости: если плоскость проходит через точку, лежащую на сфере, и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то такая плоскость является касательной к сфере. Для любой точки $B$ на этой плоскости, отличной от точки касания $A$, отрезок $OB$ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$. Следовательно, его длина будет больше длины катета $OA$, который равен радиусу сферы ($OB > OA = R$). Это означает, что все точки плоскости, кроме точки $A$, находятся вне сферы, и, таким образом, у плоскости и сферы есть только одна общая точка.

Ответ: Касательной плоскостью к сфере называют плоскость, имеющую со сферой ровно одну общую точку.