Номер 18, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 95.

Условие.

12.18. Сфера с центром в точке $A(-1; 3; 2)$ пересекается с осью ординат в точках $B(0; -1; 0)$ и $C$. Найдите координаты точки $C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, все точки на поверхности сферы равноудалены от её центра. Расстояние от любой точки сферы до её центра равно радиусу $R$.

Центр сферы находится в точке $A(-1; 3; 2)$. Так как сфера пересекает ось ординат в точке $B(0; -1; 0)$, точка $B$ лежит на сфере. Следовательно, расстояние $AB$ равно радиусу $R$. Найдем квадрат радиуса, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$:

$R^2 = AB^2 = (0 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2$
$R^2 = 1^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 1 + 16 + 4 = 21$

Точка $C$ также является точкой пересечения сферы с осью ординат. Это значит, что, во-первых, точка $C$ лежит на сфере, и расстояние $AC$ также равно радиусу $R$ (то есть $AC^2 = 21$). Во-вторых, точка $C$ лежит на оси ординат (оси $y$), поэтому её координаты по осям $x$ и $z$ равны нулю. Обозначим координаты точки $C$ как $(0; y_c; 0)$.

Теперь мы можем составить уравнение, используя известное расстояние $AC$ и координаты точек $A(-1; 3; 2)$ и $C(0; y_c; 0)$:

$AC^2 = (0 - (-1))^2 + (y_c - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 21$
$1^2 + (y_c - 3)^2 + (-2)^2 = 21$
$1 + (y_c - 3)^2 + 4 = 21$
$5 + (y_c - 3)^2 = 21$

Решим полученное уравнение относительно $y_c$:

$(y_c - 3)^2 = 21 - 5$
$(y_c - 3)^2 = 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных решения:
$y_c - 3 = 4$ или $y_c - 3 = -4$
$y_c = 7$ или $y_c = -1$

Таким образом, сфера пересекает ось ординат в двух точках с ординатами $y=-1$ и $y=7$. По условию, ордината точки $B$ равна -1. Следовательно, ордината точки $C$ равна 7. Координаты точки $C$ — $(0; 7; 0)$.

Ответ: $C(0; 7; 0)$.