Номер 17, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 12. Сфера и шар. Уравнение сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 95.

Условие.

12.17. Найдите координаты точек пересечения сферы $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$ с осями координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$.

Для нахождения точек пересечения сферы с осями координат, необходимо поочередно находить точки, у которых две из трех координат равны нулю.

Пересечение с осью Ox

Точки, лежащие на оси Ox, имеют координаты $(x, 0, 0)$. Подставим $y=0$ и $z=0$ в уравнение сферы:

$(x - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$(x - 2)^2 + 9 + 36 = 49$

$(x - 2)^2 + 45 = 49$

$(x - 2)^2 = 4$

Отсюда $x - 2 = 2$ или $x - 2 = -2$.

Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$.

Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(4, 0, 0)$ и $(0, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy

Точки, лежащие на оси Oy, имеют координаты $(0, y, 0)$. Подставим $x=0$ и $z=0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 6)^2 = 49$

$4 + (y + 3)^2 + 36 = 49$

$(y + 3)^2 + 40 = 49$

$(y + 3)^2 = 9$

Отсюда $y + 3 = 3$ или $y + 3 = -3$.

Получаем $y_1 = 0$ и $y_2 = -6$.

Таким образом, точки пересечения с осью Oy: $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 0)$ и $(0, -6, 0)$.

Пересечение с осью Oz

Точки, лежащие на оси Oz, имеют координаты $(0, 0, z)$. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение сферы:

$(0 - 2)^2 + (0 + 3)^2 + (z - 6)^2 = 49$

$4 + 9 + (z - 6)^2 = 49$

$(z - 6)^2 + 13 = 49$

$(z - 6)^2 = 36$

Отсюда $z - 6 = 6$ или $z - 6 = -6$.

Получаем $z_1 = 12$ и $z_2 = 0$.

Таким образом, точки пересечения с осью Oz: $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.

Ответ: $(0, 0, 12)$ и $(0, 0, 0)$.