Номер 28, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 91.

Условие.

11.28. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину данной окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AB$ - диаметр окружности, $C$ - точка на окружности, а $CH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на диаметр $AB$. По условию задачи, длина этого перпендикуляра $CH = 18$ см.

Перпендикуляр $CH$ делит диаметр $AB$ на два отрезка: $AH$ и $HB$. Обозначим длину меньшего отрезка $HB$ через $x$ см. Тогда, согласно условию, длина большего отрезка $AH$ будет $x + 27$ см.

Рассмотрим треугольник $ACB$. Угол $C$ этого треугольника является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$. Следовательно, угол $C$ прямой, и треугольник $ACB$ - прямоугольный. $CH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. То есть, $CH^2 = AH \cdot HB$.

Подставим известные значения в эту формулу:

$18^2 = (x + 27) \cdot x$

$324 = x^2 + 27x$

Получим квадратное уравнение:

$x^2 + 27x - 324 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 729 + 1296 = 2025$

$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - 45}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем корень $x = 9$. Таким образом, длина одного отрезка диаметра $HB = 9$ см.

Длина второго отрезка $AH = x + 27 = 9 + 27 = 36$ см.

Длина всего диаметра $d$ равна сумме длин этих двух отрезков:

$d = AH + HB = 36 + 9 = 45$ см.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = \pi d$.

$L = \pi \cdot 45 = 45\pi$ см.

Ответ: $45\pi$ см.