Номер 24, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 91.

Условие.

11.24. Около правильной усеченной четырехугольной пирамиды описан усеченный конус. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если стороны оснований усеченной пирамиды равны 8 см и 12 см, а ее высота – $2\sqrt{7}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (R + r) l$

где $R$ и $r$ — радиусы оснований усеченного конуса, а $l$ — его образующая.

Поскольку усеченный конус описан около правильной усеченной четырехугольной пирамиды, то основания пирамиды (квадраты) вписаны в основания конуса (окружности). Это означает, что радиусы оснований конуса являются радиусами окружностей, описанных около соответствующих квадратов.

1. Найдем радиусы оснований конуса $r$ и $R$.

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанной окружности $R_{окр} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Для меньшего основания пирамиды со стороной $a_1 = 8$ см, радиус меньшего основания конуса $r$ равен:

$r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Для большего основания пирамиды со стороной $a_2 = 12$ см, радиус большего основания конуса $R$ равен:

$R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем образующую усеченного конуса $l$.

Образующую $l$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченного конуса $h$ и разность радиусов его оснований $(R - r)$. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды, $h = 2\sqrt{7}$ см.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Найдем разность радиусов:

$R - r = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$l^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 7) + (4 \cdot 2) = 28 + 8 = 36$

$l = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Теперь подставим найденные значения $R$, $r$ и $l$ в исходную формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \cdot 6$

$S_{бок} = \pi (10\sqrt{2}) \cdot 6 = 60\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $60\pi\sqrt{2}$ см².