Номер 18, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 90.

Условие.

11.18. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\beta$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$). Тогда $SO$ — высота пирамиды.

Проведем апофему $SM$ к ребру основания $CD$. Тогда $M$ — середина $CD$. $OM$ — радиус окружности, вписанной в основание, и $OM \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp CD$.

Двугранный угол при ребре основания $CD$ — это угол между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью боковой грани $(SCD)$. Этот угол равен линейному углу $\angle SMO$. По условию, $\angle SMO = \beta$.

Расстояние от центра основания $O$ до боковой грани $(SCD)$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SCD)$. Так как плоскость $(SOM)$ перпендикулярна плоскости $(SCD)$ (поскольку она проходит через прямую $SM$, перпендикулярную линии пересечения $CD$), то перпендикуляр $OH$ лежит в плоскости $(SOM)$ и опущен на апофему $SM$. Таким образом, $OH \perp SM$ и по условию $OH = d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$). В нем $OH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $SM$.

В конус, вписанный в пирамиду, его высота совпадает с высотой пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды.Следовательно, высота конуса $H_{конуса} = SO$, а радиус основания конуса $R_{конуса} = OM$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса ($2R_{конуса}$), и высотой, равной высоте конуса ($H_{конуса}$). Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R_{конуса}) \cdot H_{конуса} = R_{конуса} \cdot H_{конуса} = OM \cdot SO$.

Найдем $OM$ и $SO$ из треугольника $\triangle SOM$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHM$ ($\angle OHM = 90^\circ$). В нем:$\sin(\angle SMO) = \sin(\beta) = \frac{OH}{OM}$Отсюда находим $OM$:$OM = \frac{OH}{\sin(\beta)} = \frac{d}{\sin(\beta)}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ найдем $SO$:$\tan(\angle SMO) = \tan(\beta) = \frac{SO}{OM}$Отсюда находим $SO$:$SO = OM \cdot \tan(\beta) = \frac{d}{\sin(\beta)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{d}{\cos(\beta)}$.

Теперь можем вычислить площадь осевого сечения конуса:$S_{сеч} = OM \cdot SO = \left( \frac{d}{\sin(\beta)} \right) \cdot \left( \frac{d}{\cos(\beta)} \right) = \frac{d^2}{\sin(\beta)\cos(\beta)}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta)$, получим:$S_{сеч} = \frac{d^2}{\frac{1}{2}\sin(2\beta)} = \frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.

Ответ: $\frac{2d^2}{\sin(2\beta)}$.