Номер 23, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 91.

Условие.

11.23. В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 см и 18 см, а высота — 9 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры верхнего и нижнего оснований соответственно, а $l_a$ — апофема усечённой пирамиды (высота её боковой грани). Для решения задачи последовательно найдём все необходимые величины.

Нахождение параметров оснований пирамиды

Поскольку правильная усечённая треугольная пирамида вписана в усечённый конус, её основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники, вписанные в окружности оснований конуса. Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом $R$ описанной около него окружности соотношением $a = R\sqrt{3}$.
Радиус верхнего основания конуса $R_1 = 6$ см. Найдём сторону верхнего основания пирамиды $a_1$:
$a_1 = R_1\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Радиус нижнего основания конуса $R_2 = 18$ см. Найдём сторону нижнего основания пирамиды $a_2$:
$a_2 = R_2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим периметры оснований:
Периметр верхнего основания: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.
Периметр нижнего основания: $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см.

Нахождение апофемы усечённой пирамиды

Апофему усечённой пирамиды $l_a$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $h$ и разность апофем её оснований. Апофема основания правильного треугольника — это радиус вписанной в него окружности.
Радиус $r$ вписанной в правильный треугольник окружности связан с радиусом $R$ описанной окружности как $r = R/2$.
Апофема верхнего основания (радиус вписанной окружности):
$r_1 = R_1 / 2 = 6 / 2 = 3$ см.
Апофема нижнего основания (радиус вписанной окружности):
$r_2 = R_2 / 2 = 18 / 2 = 9$ см.
Высота усечённой пирамиды равна высоте усечённого конуса: $h = 9$ см.
Применяем теорему Пифагора:
$l_a^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$
$l_a^2 = 9^2 + (9 - 3)^2 = 81 + 6^2 = 81 + 36 = 117$
$l_a = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, когда все необходимые величины найдены, мы можем вычислить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a = \frac{1}{2}(18\sqrt{3} + 54\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(72\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{13}$
$S_{бок} = 36\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{13}$
$S_{бок} = 108\sqrt{3 \cdot 13} = 108\sqrt{39}$ см².

Ответ: $108\sqrt{39}$ см².