Номер 27, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 91.

Условие.

11.27. На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отметили точку $M$ так, что $AM = 13$ см. Найдите площадь четырёхугольника $AMCD$, если $AB = 12$ см, $BD = 20$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку $ABCD$ – прямоугольник, то его противоположные стороны равны и все углы прямые. Следовательно, $AB = CD = 12$ см, $AD = BC$, и $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$. Четырёхугольник $AMCD$ является прямоугольной трапецией, так как основания $MC$ и $AD$ параллельны ($MC \subset BC$, а $BC \parallel AD$), а боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S_{AMCD} = \frac{AD + MC}{2} \cdot CD$

Для вычисления площади нам нужно найти длины $AD$ и $MC$.

1. Найдём длину стороны $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $\angle A = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора $AB^2 + AD^2 = BD^2$. Подставим известные значения:$12^2 + AD^2 = 20^2$$144 + AD^2 = 400$$AD^2 = 400 - 144$$AD^2 = 256$$AD = \sqrt{256} = 16$ см.Так как $ABCD$ – прямоугольник, то $BC = AD = 16$ см.

2. Найдём длину отрезка $BM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $\angle B = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора $AB^2 + BM^2 = AM^2$. Подставим известные значения:$12^2 + BM^2 = 13^2$$144 + BM^2 = 169$$BM^2 = 169 - 144$$BM^2 = 25$$BM = \sqrt{25} = 5$ см.

3. Найдём длину отрезка $MC$. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому $MC = BC - BM$.$MC = 16 - 5 = 11$ см.

4. Теперь мы можем вычислить площадь трапеции $AMCD$, используя найденные значения: $AD = 16$ см, $MC = 11$ см, $CD = 12$ см.$S_{AMCD} = \frac{16 + 11}{2} \cdot 12 = \frac{27}{2} \cdot 12 = 27 \cdot 6 = 162$ см².

Ответ: 162 см².