Номер 21, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 91.

Условие.

11.21. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r L$, где $r$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Поскольку конус вписан в пирамиду, их вершины совпадают, а основание конуса является окружностью, вписанной в основание пирамиды. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в этот треугольник.

Сначала найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Условие о том, что все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны (в данном случае $60^\circ$), означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Этот центр также является центром основания вписанного конуса.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса $H$ и радиус его основания $r$.
Рассмотрим сечение, проходящее через высоту пирамиды и радиус $r$, проведенный к точке касания с одной из сторон основания. Этот радиус перпендикулярен стороне основания. Апофема пирамиды (отрезок, соединяющий вершину с этой точкой касания) вместе с высотой и радиусом образует прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $60^\circ$. В этом случае апофема пирамиды равна образующей конуса $L$.

Из этого прямоугольного треугольника мы можем найти образующую $L$:
$\cos(60^\circ) = \frac{r}{L}$
$L = \frac{r}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.

Теперь, зная радиус основания $r = 2$ см и образующую $L = 4$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r L = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi$ см$^2$.

Ответ: $8\pi$ см$^2$.