Номер 19, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 90.

Условие.

11.19. Около конуса описана пирамида, основанием которой является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$, а все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь осевого сечения данного конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь осевого сечения конуса $S_{ос}$ вычисляется как площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным диаметру основания конуса ($2R$), и высотой, равной высоте конуса ($H$). Таким образом, формула для площади:$S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.Чтобы найти площадь, нам необходимо определить радиус основания конуса $R$ и его высоту $H$.

Нахождение радиуса основания конуса R.
Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу вписанной в ромб окружности.Высота ромба $h_{\text{ромб}}$ связана с диаметром вписанной окружности соотношением $h_{\text{ромб}} = 2R$.С другой стороны, высоту ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ можно выразить как $h_{\text{ромб}} = a \sin \alpha$.Приравнивая два выражения для высоты, получаем:$2R = a \sin \alpha$.Отсюда находим радиус:$R = \frac{a \sin \alpha}{2}$.

Нахождение высоты конуса H.
По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$. Это свойство означает, что вершина пирамиды (которая совпадает с вершиной конуса) проецируется в центр окружности, вписанной в основание.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$ (она же высота конуса), радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой боковой грани пирамиды. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами. Угол между апофемой и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, и он равен $\beta$. Этот угол противолежит катету $H$.Из соотношений в данном прямоугольном треугольнике следует:$\tan \beta = \frac{H}{R}$.Отсюда выражаем высоту конуса:$H = R \cdot \tan \beta$.

Вычисление площади осевого сечения.
Теперь, зная выражения для $R$ и $H$, мы можем найти площадь осевого сечения:$S_{ос} = R \cdot H = R \cdot (R \cdot \tan \beta) = R^2 \cdot \tan \beta$.Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $R$:$S_{ос} = \left(\frac{a \sin \alpha}{2}\right)^2 \cdot \tan \beta = \frac{a^2 \sin^2 \alpha}{4} \cdot \tan \beta$.

Ответ: $\frac{a^2 \sin^2 \alpha \cdot \tan \beta}{4}$.