Номер 12, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 90.

Условие.

11.12. Основание пирамиды – прямоугольник, меньшая из сторон которого равна $a$, а угол между диагоналями равен $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей.

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину и то же основание, что и окружность, описанная около прямоугольника в основании пирамиды. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника, а образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса (R)

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, где $AB = a$ — меньшая сторона, а $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем $AO = BO = R$, а сторона $AB = a$. Угол между диагоналями $\alpha$ является углом при вершине этого треугольника, $\angle AOB = \alpha$. Так как $a$ — меньшая сторона, то угол $\alpha$ — острый угол между диагоналями.

Проведем высоту $OK$ из вершины $O$ на сторону $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OK$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AK = KB = a/2$ и $\angle AOK = \alpha/2$.

Из прямоугольного треугольника $AOK$ найдем $R$:
$\sin(\angle AOK) = \frac{AK}{AO} \Rightarrow \sin(\alpha/2) = \frac{a/2}{R}$
Отсюда радиус основания конуса:
$R = \frac{a/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$

2. Найдем образующую конуса (L)

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды, например, $SA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ — высота пирамиды, $AO = R$ — проекция бокового ребра на плоскость основания. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром и его проекцией, то есть $\angle SAO = \beta$.

В треугольнике $SOA$:
$\cos(\beta) = \frac{AO}{SA} = \frac{R}{L}$
Отсюда выразим образующую $L$:
$L = \frac{R}{\cos(\beta)}$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi R L$

Подставим в формулу найденные выражения для $R$ и $L$:
$S_{бок} = \pi R \cdot \frac{R}{\cos(\beta)} = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)}$

Теперь подставим выражение для $R$:
$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left( \frac{a}{2\sin(\alpha/2)} \right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}$
$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(\alpha/2)}$