Номер 6, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 89.

Условие.

11.6. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а высота – 6 см. Найдите образующую конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, нам дана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Сторона основания (квадрата) равна $a = 4$ см, а высота пирамиды $H = 6$ см.

В эту пирамиду вписан конус. Это значит, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса является окружностью, вписанной в квадратное основание пирамиды. Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды $H$.

Следовательно, высота конуса $h = H = 6$ см.

Радиус $r$ основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$. Радиус такой окружности равен половине стороны квадрата:

$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Образующая конуса $L$, его высота $h$ и радиус основания $r$ связаны соотношением по теореме Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ – гипотенуза, а $h$ и $r$ – катеты.

$L^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения высоты и радиуса конуса в формулу:

$L^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$

Теперь найдём длину образующей $L$:

$L = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.