Номер 1, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 89.

Условие.

11.1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро – 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

11.1.

По условию, дана правильная треугольная пирамида. Сторона ее основания, которое является правильным треугольником, равна $a = 12$ см. Боковое ребро пирамиды равно $l_{пир} = 8$ см.

Конус описан около данной пирамиды. Это означает, что основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса (окружность), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

Из этого следует, что радиус основания конуса $R$ — это радиус окружности, описанной около основания пирамиды. Образующая конуса $l_{кон}$ равна боковому ребру пирамиды, а высота конуса $H_{кон}$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим значение $a = 12$ см: $R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту конуса $H_{кон}$. Высота конуса, радиус его основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l_{кон}^2 = R^2 + H_{кон}^2$. Мы знаем, что $l_{кон} = l_{пир} = 8$ см. $H_{кон}^2 = l_{кон}^2 - R^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - (16 \cdot 3) = 64 - 48 = 16$. $H_{кон} = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($D = 2R$), а высота равна высоте конуса $H_{кон}$. Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H_{кон} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H_{кон} = R \cdot H_{кон}$. Подставим найденные значения $R$ и $H_{кон}$: $S_{сеч} = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см$^2$.