Номер 7, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 89.

Условие.

11.7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 18 см, а апофема – 9 см. Найдите высоту конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку конус вписан в правильную треугольную пирамиду, их вершины совпадают, а высота конуса равна высоте пирамиды. Обозначим высоту пирамиды (и конуса) как $H$, сторону основания пирамиды как $a$, апофему пирамиды как $L$.

Нам дано: $a = 18$ см, $L = 9$ см.

Высота пирамиды $H$, ее апофема $L$ и радиус $r$ окружности, вписанной в основание, образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $H$ и $r$ — катеты. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство:

$L^2 = H^2 + r^2$

Отсюда, высота $H$ может быть найдена как:

$H = \sqrt{L^2 - r^2}$

Сначала найдем радиус $r$ окружности, вписанной в основание. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 18$ см. Радиус вписанной в него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a$:

$r = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная $L = 9$ см и $r = 3\sqrt{3}$ см, мы можем найти высоту $H$:

$H = \sqrt{9^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 - (9 \cdot 3)} = \sqrt{81 - 27} = \sqrt{54}$

Упростим полученное значение:

$H = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$ см.

Высота конуса, вписанного в пирамиду, равна высоте пирамиды.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.