Номер 2, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 89.

Условие.

11.2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота – 5 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высоты конуса и пирамиды равны, а диаметр основания конуса равен диагонали квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Высота конуса $h$ равна высоте пирамиды:

$h = 5$ см.

Сторона основания пирамиды (квадрата) $a = 10$ см. Диагональ квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Диаметр основания конуса $D$ равен диагонали квадрата:

$D = d = 10\sqrt{2}$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $D$, а высотой — высота конуса $h$. Площадь этого сечения $S$ вычисляется по формуле площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot D \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 5 = 5\sqrt{2} \cdot 5 = 25\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $25\sqrt{2}\text{ см}^2$.