Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 89.

Условие.

11.3. Основанием пирамиды является треугольник со стороной $a$ и противолежащим ей углом $\alpha$, а угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту и образующую конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку конус описан около пирамиды, то основание конуса — это окружность, описанная около треугольника в основании пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания. Обозначим высоту конуса (и пирамиды) как $H$, радиус основания как $R$, а образующую конуса (которая равна боковому ребру пирамиды) как $L$.

Радиус $R$ основания конуса является радиусом окружности, описанной около треугольника в основании. По следствию из теоремы синусов, для треугольника со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ радиус описанной окружности $R$ находится по формуле:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R \implies R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей $L$ и радиусом $R$ (который лежит в плоскости основания) равен заданному углу $\beta$.

Высота конуса

В указанном прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$. Следовательно, мы можем использовать тангенс угла $\beta$:

$\tan \beta = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту:

$H = R \cdot \tan \beta$

Подставляем ранее найденное выражение для $R$:

$H = \frac{a}{2 \sin \alpha} \cdot \tan \beta = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha}$

Ответ: $H = \frac{a \tan \beta}{2 \sin \alpha}$

Образующая конуса

В том же прямоугольном треугольнике образующая $L$ является гипотенузой. Радиус $R$ — это катет, прилежащий к углу $\beta$. Следовательно, мы можем использовать косинус угла $\beta$:

$\cos \beta = \frac{R}{L}$

Отсюда выражаем образующую:

$L = \frac{R}{\cos \beta}$

Подставляем выражение для $R$:

$L = \frac{a / (2 \sin \alpha)}{\cos \beta} = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta}$

Ответ: $L = \frac{a}{2 \sin \alpha \cos \beta}$