Номер 8, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 89.

Условие.

11.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной $a$. Двугранный угол при ребре основания равен $\alpha$. В эту пирамиду вписан конус. Это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Радиус основания конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Этот радиус можно найти по формуле:$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Образующая конуса $l$ равна апофеме пирамиды (высоте её боковой грани). Обозначим пирамиду как SABC, где S — вершина, ABC — основание. Пусть O — центр основания (центр вписанной окружности), а M — середина стороны BC. Тогда отрезок OM является радиусом вписанной окружности ($OM=r$), а отрезок SM — апофемой пирамиды и одновременно образующей конуса ($SM=l$).

Двугранный угол при ребре основания BC — это угол между плоскостями (ABC) и (SBC). Его линейная мера — это угол $\angle SMO$, так как $OM \perp BC$ и $SM \perp BC$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^{\circ}$), образованный высотой пирамиды SO, апофемой SM и радиусом вписанной окружности OM. Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике следует:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{l}$.

Выразим из этого соотношения образующую $l$:$l = \frac{r}{\cos(\alpha)}$.Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $r$:$l = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Теперь, зная $r$ и $l$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi \cdot a^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{3\pi a^2}{36\cos(\alpha)} = \frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12\cos(\alpha)}$.