Номер 9, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 90.

Условие.

11.9. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат).

Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $d$, а высотой – высота конуса $h$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{1}{2} d h$.

Найдем диаметр $d$ и высоту $h$ конуса.

1. Так как окружность основания конуса вписана в квадрат со стороной $a$, ее диаметр равен стороне этого квадрата:$d = a$.Следовательно, радиус основания конуса $r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

2. Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды. Чтобы найти высоту пирамиды, воспользуемся информацией о двугранном угле при ребре основания, который равен $\alpha$.

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему (высоту боковой грани). Пусть $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр квадратного основания, $M$ – середина одной из сторон основания. Тогда $SO$ – высота пирамиды ($SO = h$), $OM$ – отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны (и равный радиусу вписанной окружности, $OM = r = \frac{a}{2}$), а $SM$ – апофема пирамиды. Угол между апофемой $SM$ и ее проекцией на основание $OM$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания. Таким образом, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Из определения тангенса острого угла:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$$\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2}$Отсюда выражаем высоту $h$:$h = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$.

3. Теперь вычислим площадь осевого сечения конуса, подставив найденные значения $d=a$ и $h = \frac{a}{2} \tan(\alpha)$ в формулу площади:$S_{сеч} = \frac{1}{2} d h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right) = \frac{a^2 \tan(\alpha)}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4} \tan(\alpha)$.