Номер 4, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 89.

Условие.

11.4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 12 см. Вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Конус, описанный около пирамиды, имеет общее с ней основание и вершину. Основанием конуса является окружность, описанная около основания пирамиды. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине гипотенузы.
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Согласно условию, вершина пирамиды проектируется в середину гипотенузы, то есть в центр основания описанного конуса. Таким образом, высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды и равна $H = 12$ см.

Образующая конуса $L$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ — гипотенуза. Найдем образующую по теореме Пифагора:
$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. Подставим найденные значения:
$S_{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см².

Ответ: $65\pi$ см².