Номер 11, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 90.

Условие.

11.11. Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi Rl$, где $R$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая (длина образующей).

По условию, около конуса описана правильная треугольная пирамида. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (правильный треугольник), а их вершины совпадают. Сторона основания пирамиды равна $a$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус окружности, вписанной в правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.Это и есть радиус основания конуса.

2. Найдем образующую конуса $l$.
Образующая $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и радиус его основания $R$. Таким образом, $l = \sqrt{H^2 + R^2}$. Найдем высоту $H$.

Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABC$ — её основание, а $O$ — центр основания (центр вписанной и описанной окружностей). Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на эту плоскость, то есть отрезком $OA$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Отрезок $OA$ является радиусом окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$. Его длина:$OA = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Высота конуса $H = SO$ находится из этого треугольника:$H = SO = OA \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\alpha)$.

Теперь можем найти образующую $l$:$l^2 = H^2 + R^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3} \tan(\alpha)\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2$$l^2 = \frac{3a^2}{9} \tan^2(\alpha) + \frac{3a^2}{36} = \frac{a^2}{3} \tan^2(\alpha) + \frac{a^2}{12}$$l^2 = a^2 \left(\frac{1}{3} \tan^2(\alpha) + \frac{1}{12}\right) = a^2 \left(\frac{4\tan^2(\alpha) + 1}{12}\right)$$l = \sqrt{a^2 \frac{4\tan^2(\alpha) + 1}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$.
Подставим найденные значения $R$ и $l$ в формулу площади:$S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1}\right)$$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a^2 (\sqrt{3})^2}{36} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1} = \pi \frac{3a^2}{36} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1}$$S_{бок} = \frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2(\alpha) + 1}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{12} \sqrt{4\tan^2\alpha + 1}$.