Номер 5, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 89.

Условие.

11.5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4\sqrt{7}$ см и 12 см, а боковые рёбра пирамиды равны по 17 см. Найдите площадь осевого сечения конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны, её вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей. Конус, описанный около такой пирамиды, будет иметь ту же вершину и ту же высоту, а его основанием будет окружность, описанная около прямоугольника в основании пирамиды.

Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали прямоугольника, а высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Площадь этого треугольника $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Сначала найдем диагональ $d$ прямоугольника по теореме Пифагора. Стороны прямоугольника равны $a = 4\sqrt{7}$ см и $b = 12$ см.
$d^2 = a^2 + b^2 = (4\sqrt{7})^2 + 12^2 = 16 \cdot 7 + 144 = 112 + 144 = 256$ см$^2$.
$d = \sqrt{256} = 16$ см.
Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (и конуса) $H$, радиусом основания $R$ и боковым ребром пирамиды, которое является образующей конуса $L$. Длина бокового ребра дана и равна $L = 17$ см. По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$
$H^2 = L^2 - R^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ см$^2$.
$H = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна произведению радиуса основания на высоту конуса:
$S_{сеч} = R \cdot H = 8 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.