Номер 10, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 90.

Условие.

11.10. Около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, около конуса описана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (квадрат), а вершина у них общая. Сторона квадрата в основании пирамиды равна $a$.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая. Для решения задачи нам необходимо найти $r$ и $l$.

1. Найдём радиус основания конуса r.

Так как основание конуса — это круг, вписанный в квадрат со стороной $a$, его диаметр равен стороне квадрата. Следовательно, радиус равен половине стороны квадрата:$r = \frac{a}{2}$.

2. Найдём высоту конуса H.

Пусть O — центр квадрата-основания, а S — общая вершина. Тогда SO — это общая высота пирамиды и конуса (обозначим её H). Боковое ребро пирамиды (например, SA) образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол равен углу между ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SA проекцией будет отрезок AO. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO ($\angle SOA = 90^\circ$). Катет AO является половиной диагонали квадрата. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, значит, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике SAO имеем:$\tan(\alpha) = \frac{SO}{AO} = \frac{H}{AO}$Отсюда выражаем высоту H:$H = AO \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$.

3. Найдём образующую конуса l.

Образующая конуса $l$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса H и радиус его основания r. По теореме Пифагора:$l^2 = H^2 + r^2$.Подставим найденные ранее выражения для H и r:$l^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} \tan^2(\alpha) + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2} \tan^2(\alpha) + \frac{a^2}{4}$.Приведём слагаемые к общему знаменателю:$l^2 = \frac{2a^2 \tan^2(\alpha) + a^2}{4} = \frac{a^2(2 \tan^2(\alpha) + 1)}{4}$.Извлекая квадратный корень, находим $l$:$l = \sqrt{\frac{a^2(2 \tan^2(\alpha) + 1)}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2(\alpha) + 1}$.

4. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Теперь, используя формулу площади боковой поверхности конуса, подставим в неё найденные значения r и l:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sqrt{2 \tan^2(\alpha) + 1}\right) = \frac{\pi a^2}{4} \sqrt{2 \tan^2(\alpha) + 1}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4} \sqrt{2 \tan^2(\alpha) + 1}$.