Номер 14, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 90.

Условие.

11.14. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Тогда угол при вершине $B$ равен $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

Конус описан около данной пирамиды. Это означает, что основание конуса — это окружность, описанная около треугольника $ABC$, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$. Найдем его, используя теорему синусов для треугольника $ABC$:$$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R $$Подставим известные значения:$$ \frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2R $$Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:$$ \frac{a}{\sin(2\alpha)} = 2R $$Отсюда находим радиус $R$:$$ R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)} $$

Образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды. По условию, все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды (и конуса) проецируется в центр описанной окружности основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза $L$), его проекцией на основание (катет, равный радиусу $R$) и высотой конуса. Угол между боковым ребром и его проекцией равен $\beta$. Из этого треугольника имеем:$$ \cos(\beta) = \frac{R}{L} $$Следовательно, образующая $L$ равна:$$ L = \frac{R}{\cos(\beta)} $$

Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса:$$ S_{бок} = \pi R L = \pi R \left(\frac{R}{\cos(\beta)}\right) = \frac{\pi R^2}{\cos(\beta)} $$Подставим найденное выражение для $R$:$$ S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi}{\cos(\beta)} \frac{a^2}{4\sin^2(2\alpha)} $$$$ S_{бок} = \frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)} $$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4\cos(\beta)\sin^2(2\alpha)}$