Номер 15, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 90.

Условие.

11.15. Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а высота пирамиды равна $ \frac{5\sqrt{87}}{8} $ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Поскольку конус описан около пирамиды, его основанием является окружность, описанная около треугольного основания пирамиды, а вершина и высота у них общие. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника в основании пирамиды, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Найдем радиус основания конуса $R$

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Радиус $R$ описанной около него окружности можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь найдем площадь треугольника: $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Теперь можем вычислить радиус описанной окружности: $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$ см.

2. Найдем образующую конуса $l$

Образующая конуса $l$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды (а значит, и конуса) равна $H = \frac{5\sqrt{87}}{8}$ см. Мы нашли, что $R = \frac{65}{8}$ см.

Подставим значения в формулу: $l = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{87}}{8}\right)^2 + \left(\frac{65}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 87}{64} + \frac{4225}{64}} = \sqrt{\frac{2175 + 4225}{64}} = \sqrt{\frac{6400}{64}} = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса

Теперь, зная радиус основания $R = \frac{65}{8}$ см и образующую $l = 10$ см, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot \frac{65}{8} \cdot 10 = \frac{650\pi}{8} = \frac{325\pi}{4}$ см².

Ответ: $\frac{325\pi}{4}$ см².