Номер 22, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 91.

Условие.

11.22. Около конуса описана пирамида, основанием которой является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а высота пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, ее основание (треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см) описано около основания конуса (окружности). Это означает, что радиус основания конуса $R$ является радиусом вписанной в этот треугольник окружности. Высота конуса совпадает с высотой пирамиды: $H = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем радиус вписанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.Сначала вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}$.

Далее найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)}$$S = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60 \text{ см}^2$.

Теперь можем найти радиус основания конуса $R$:$R = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2 \text{ см}$.

Образующая конуса $L$, его высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора $L^2 = H^2 + R^2$. Найдем образующую $L$:$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 4} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $12\pi \text{ см}^2$.