Номер 25, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 91.

Условие.

11.25. В правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписан усечённый конус, радиусы оснований которого равны 5 см и 7 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани). Для решения задачи необходимо найти эти величины.

Так как в правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан усечённый конус, основаниями пирамиды являются квадраты, а основания конуса — это окружности, вписанные в эти квадраты. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Пусть $a_1$ – сторона большего основания, а $a_2$ – сторона меньшего основания. Радиусы оснований конуса даны: $R = 7$ см и $r = 5$ см.
Тогда стороны оснований пирамиды равны:
$a_1 = 2R = 2 \cdot 7 = 14$ см.
$a_2 = 2r = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь можем найти периметры оснований:
$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 14 = 56$ см.
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Далее найдём высоту усечённой пирамиды $H$, которая равна высоте вписанного усечённого конуса. Угол между образующей конуса и плоскостью большего основания равен $45^\circ$. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, разностью радиусов $R-r$ и образующей, катет $H$ связан с катетом $R-r$ через тангенс угла $45^\circ$:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{R-r}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем $H = R - r = 7 - 5 = 2$ см.

Апофема пирамиды $h_a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $H$ и отрезок, равный разности между радиусами вписанных в основания окружностей, то есть $R-r$. По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + (R-r)^2$
$h_a^2 = 2^2 + (7-5)^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.
$h_a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(56 + 40) \cdot 2\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $96\sqrt{2}$ см$^2$.