Номер 26, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 91.

Условие.

11.26. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида, стороны оснований которой равны 18 см и 24 см, а боковое ребро – 6 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая конуса.

Так как правильная усечённая треугольная пирамида описана около усечённого конуса, то основания конуса (окружности) вписаны в основания пирамиды (правильные треугольники). Следовательно, радиусы оснований конуса $R$ и $r$ равны радиусам вписанных в эти треугольники окружностей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле $r_{вп} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Стороны оснований пирамиды равны $a_1 = 24$ см и $a_2 = 18$ см.
Найдем радиус большего основания конуса ($R$):
$R = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Найдем радиус меньшего основания конуса ($r$):
$r = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Образующая конуса ($l$) равна апофеме (высоте боковой грани) усечённой пирамиды. Боковая грань пирамиды представляет собой равнобокую трапецию с основаниями, равными сторонам оснований пирамиды ($a_1 = 24$ см и $a_2 = 18$ см), и боковой стороной, равной боковому ребру пирамиды ($b = 6$ см).
Высоту этой трапеции ($l$) можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является боковое ребро $b$, а одним из катетов — отрезок на большем основании, равный полуразности оснований трапеции.
Длина этого катета: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{24 - 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Тогда второй катет (высота трапеции, то есть образующая конуса $l$):
$l = \sqrt{b^2 - (\frac{a_1 - a_2}{2})^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, имея все необходимые значения, можем вычислить площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} = \pi \cdot (7\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) = 21\pi \cdot (\sqrt{3})^2 = 21\pi \cdot 3 = 63\pi$ см².

Ответ: $63\pi$ см².