Номер 20, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 91.

Условие.

11.20. Около конуса описана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – его образующая.

Так как пирамида описана около конуса, то основание конуса — это круг, вписанный в основание пирамиды (равнобедренный треугольник), а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Условие равенства всех двугранных углов при ребрах основания пирамиды означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу $r$ вписанной в треугольник окружности.

1. Нахождение радиуса основания конуса $R$.

Рассмотрим основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами $a, a$ и углами при основании $\alpha$. Найдем третью сторону (основание треугольника) $b$. Угол при вершине равен $180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$. По теореме синусов:

$\frac{b}{\sin(\pi - 2\alpha)} = \frac{a}{\sin\alpha}$

$b = \frac{a \sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{a \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2a\cos\alpha$.

Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a + a + 2a\cos\alpha}{2} = \frac{2a(1 + \cos\alpha)}{2} = a(1 + \cos\alpha)$.

Найдем площадь $S$ треугольника:

$S = \frac{1}{2} a \cdot a \sin(\pi - 2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} a^2 (2\sin\alpha\cos\alpha) = a^2\sin\alpha\cos\alpha$.

Радиус вписанной окружности $r$ (и радиус основания конуса $R$) вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$:

$R = r = \frac{a^2\sin\alpha\cos\alpha}{a(1 + \cos\alpha)} = \frac{a\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.

Для упрощения выражения используем формулы двойного и половинного угла: $\sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$R = \frac{a \cdot (2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})) \cdot \cos\alpha}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = a \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cos\alpha = a \tan(\frac{\alpha}{2}) \cos\alpha$.

2. Нахождение образующей конуса $L$.

Рассмотрим сечение, проходящее через вершину конуса $S$, центр вписанной окружности $O$ и точку касания $K$ окружности с одной из сторон основания. Получим прямоугольный треугольник $SOK$, где $SO=H$ – высота конуса, $OK=R$ – радиус основания, а $SK=L$ – образующая конуса. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, то есть $\angle SKO = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $SOK$ имеем:

$\cos\beta = \frac{OK}{SK} = \frac{R}{L}$

Отсюда выразим образующую $L$:

$L = \frac{R}{\cos\beta}$.

3. Вычисление площади боковой поверхности конуса.

Подставим найденные выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot R \cdot \frac{R}{\cos\beta} = \frac{\pi R^2}{\cos\beta}$.

Теперь подставим найденное выражение для $R$:

$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos\beta} \left( a \tan(\frac{\alpha}{2}) \cos\alpha \right)^2 = \frac{\pi a^2 \tan^2(\frac{\alpha}{2}) \cos^2\alpha}{\cos\beta}$.

Ответ: $ \frac{\pi a^2 \cos^2\alpha \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos\beta} $