Номер 13, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 90.

Условие.

11.13. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом $b$ и прилежащим к нему острым углом $\alpha$. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $\varphi$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей.

Поскольку конус описан около пирамиды, основание пирамиды (прямоугольный треугольник) вписано в основание конуса (окружность), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

В условии сказано, что все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около её основания. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около прямоугольного треугольника в основании пирамиды, а образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды.

1. Найдём радиус основания конуса R.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Пусть его катет равен $b$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус $R$ равен половине длины гипотенузы.

Найдём гипотенузу $c$ этого треугольника. Катет $b$ является прилежащим к углу $\alpha$. Тогда:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

Отсюда гипотенуза $c = \frac{b}{\cos(\alpha)}$.

Радиус описанной окружности (и радиус основания конуса) равен:

$R = \frac{c}{2} = \frac{b}{2\cos(\alpha)}$

2. Найдём образующую конуса L.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (гипотенуза $L$), высотой пирамиды $H$ и радиусом описанной окружности $R$ (катеты). Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром $L$ и радиусом $R$, и он равен $\phi$.

Из этого треугольника имеем:

$\cos(\phi) = \frac{R}{L}$

Отсюда образующая $L = \frac{R}{\cos(\phi)}$.

Подставим найденное ранее значение $R$:

$L = \frac{\frac{b}{2\cos(\alpha)}}{\cos(\phi)} = \frac{b}{2\cos(\alpha)\cos(\phi)}$

3. Найдём площадь боковой поверхности конуса.

Подставим выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{b}{2\cos(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{b}{2\cos(\alpha)\cos(\phi)}\right) = \frac{\pi b^2}{4\cos^2(\alpha)\cos(\phi)}$

Ответ: $\frac{\pi b^2}{4\cos^2(\alpha)\cos(\phi)}$